Bilangan Real

Berbagai Sistem Bilangan
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Gambar 1

Pengertian Bilangan Real ()
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga .
Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari .
Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.
Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:




Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu dan memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu dan (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!
Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.
Pertanyaan
Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?
Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
a) Operasi penjumlahan

Contoh:
1.
2.
3.
4.
b) Operasi pengurangan

Contoh:
1.
2.
3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $
c) Operasi perkalian

Contoh:
1.
2.
3.
d) Operasi pembagian

Contoh:





Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya
a) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal
Contoh:



b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen
Contoh:


c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!




Menghitung persentase
a) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan
Contoh:
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000


Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00
b) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00


Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
c) Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00
Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

Sifat-sifat Operasi Bilangan Real
Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.
Untuk setiap , beralaku sifat-sifat berikut;
Penjumlahan:
1. Sifat tertutup pada penjumlahan;
2. Sifat komutatif pada penjumlahan
3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)
6. Sifat invers pada penjumlahan
Perkalian:
1. Sifat tertutup pada perkalian
2. Sifat komutatif pada perkalian
3. Sifat asosiatif pada perkalian
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)
6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk )

(tidak ada/tidak didefinisikan)
Catatan:
Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol, karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini