Transformasi Geometri

adalah suatu perpindaban/perubaban.

1. TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
   
   

   Matriks	Perubahan	Perubahan
   é a ù ë bû	(x,y) ® (x+a, y+b)	F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0
   Ket : x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b

   Sifat:
   
   
   • Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan
                                                  ë b û
     dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
                                      ë d û                       ë b + d û
     
     
   • Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
     
     
     
2. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)
   
   

   Pencerminan terhadap	Matriks	Perubahan Titik	Perubahan fungsi
   sumbu-x	é 1 -0 ù ë 0 -1 û	(x,y) ® (x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(x,-y) = 0
   sumbu -y	é -1 0 ù ë -0 1 û	(x,y) ® (-x,y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,y) = 0
   garis y = x	é 0 1 ù ë 1 0 û	(x,y) ® (y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,x) = 0
   garis y = -x	é -0 -1 ù ë -1 -0 û	(x,y) ® (-y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,-x)= 0

   
   
   Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
   
   
   SIFAT-SIFAT
   
   
   1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
      
      
   2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
      
      • Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
      • Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
        
        
   3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
      
      
   4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
      
      • Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
      • Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
      • Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
        
        
        
3. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)
   
   

   rotasi	matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
   ½ p	é0  -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
   p	é-1  0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
   3/2 p	é0  -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
   q	écosq -sinq ù ësinq  cosq û	(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

   
   Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
   
   SIFAT-SIFAT
   
   
   1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
      
      
   2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
      
      Catatan:
      
      Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
      
      
      
4. DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)
   
   

   Dilatasi	Matriks	Perubahan titik	Perubahan fungsi
   (0,k)	ék  0ù ë0  kû	(x,y)®(kx,ky)	F(x,y)=0®F(x/k,y/k)

   
   Ket.:
   
   (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
   
   Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
   a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
   b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
   c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
   
   
   
5. TRANSFORMASI LINIER
   
   Ditentukan oleh matriks éa  bù
                                   ëc  dû
   
   é x' ù = é a b ù é x ù
   ë y' û   ë c d û ë y û
   
   
   é x ù =    1        é a -b ù é x' ù
   ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û 
   
   

   Perubahan Titik	Perubahan Fungsi
   (x,y)®(ax+by, cx+dy)	F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û

   
   Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.

KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika A =   é a b ù adalah T₁ dan B = é e f ù adalah T₂
ttt         ë c d û                          ë g hû

maka T₂ ° T₁ = BA = é e f ù é a b ù
                            ë g hûë c d û
® menyatakan transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂

TRANSFORMASI INVERS
Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M^-1 (yaitu jika M^-1 ada).

MATRIKS SATUAN & MATRIKS INVERS

MATRIKS SATUAN adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)

I2 =	é 1 0 ù ë 0 1 û	I3 =	é 1 0 1 ù ê 0 1 0 ú ë 0 0 1 û

Sifat AI = IA = A

MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A^-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B^-1).
Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û

• Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
  
  
• Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.
  
  Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.

Sifat A . A^-1 = A^-1 . A = I
Perluasan
A . B = I    ® A = B^-1      B = A^-1
A . B = C ® A = C . ^B-1   B = A^-1 . C
Sifat-Sifat
1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A^-t)^-t = A
5. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|

APROKSIMASI KESALAHAN

Standar Kompetensi
Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aproksimasi kesalahan
Kompetensi Dasar

• Menerapkan konsep kesalahan pengukuran
• Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran

Latar Belakang

Jangka Sorong

Biosensor Glukosa

Mikrometer

Dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak pernah lepas dari kegiatan membilang dan mengukur. Sedangkan dalam matematika kedua istilah tersebut memiliki makna yag berlainan. Oleh karena itu, untuk memperdalam wawasan kita dalam masalah ini berikut akan disajikan materinya. Namun sebelum itu yang menjadi latar belakang pembuatan artikel ini sendiri adalah :

1. Masih banyak siswa di sekolah yang masih belum bisa memahami bagaimana cara membulatkan suatu bilangan, bagaimana cara menentukan angka penting,dll. Padahal halini penting untuk dipelajari, sebab akan sangat digunakan dan dibutuhkan dalam disiplin ilmu yang lain, khususnya dalam bidang ilmu fisika. Selain itu, pengamatan terhadap gejala kehidupan sehari-hari secara umum tidaklah lengkap apabila tidak disertai data kuantitatif yang diperoleh dari hasil pengukuran.
2. Saat ini, kegiatan pengukuran tidak hanya menggunakan alat ukur konvensional seperti penggaris dan meteran yang fungsinya terbatas pada pengukuran panjang, tetapi juga dapat menggunakan peralatan digital. Sebagai contoh untuk mengetahui tekanan darah seseorang, seorang dokter dapat menggunakan tensimeter digital, sehingga langsung diketahui hasilnya. Seorang teknisi listrik dengan mudah mengontrol naik turunnya tegangan listrik pada sistem pembangkit listrik hanya dengan membaca multimeter digital yang secara otomatis menunjukkan besarnya tegangan atau kuat arus yang dihasilkan oleh sumber tegangan atau pembangkit pada panel kontrol kendali tegangan yang sudah dibangunnya.

Demikian pentingnya pengukuran dalam kehidupan sehari-hari, baik itu menggunakan alat ukur konvensional dalam mengukur panjang maupun alat ukur modern dengan menggunakan sistem digital yang dapat digunakan secara otomatis dan mempunyai ketelitian yang sangat tinggi. Oleh karena itu, artikel ini akan sangat membantu untuk memudahkan dalam proses perhitungannya.
Tujuan
Tujuan dari pembuatan multimedia ini adalah untuk menyajikan materi pelajaran dalam bentuk yang lebih menarik dan mudah untuk dipahami. Sebab yang sering terjadi pada saat ini materi pelajaran yang disampaikan di sekolah itu hanya dalam bentuk tulis tangan secara manual. Melalui Macromedia Flash ini akan menjadi sebuah alternatif jalan untuk membuat matematika itu lebih menarik dan mudah dipahami.
ISI
Definisi Membilang dan mengukur
Dalam dunia matematika istilah mengukur dan membilang ini memiliki pengertian yang berbeda. Mengukur adalah membandingkan sesuatu yang diukur dengan besaran sejenis yang ditetapkan sebagai satuan atau suatu kegiatan atau proses mengidentifikasi dan mengumpulkan fakta/data, kemudian membandingkan fakta tersebut terhadap suatu parameter atau ukuran tertentu dengan tujuan tertentu. Contohnya:  pengukuran panjang, luas, masa, waktu dll. Sedangkan membilang atau menghitung merupakan sesuatu yang pasti (Eksak). Contoh : banyak siswa di satu sekolah, harga barang, banyaknya suatu produk yang dihasilkan, dll.
Lalu apa yang dimaksud dengan Aproksimasi itu?
Aproksimasi adalah pembulatan nilai terhadap hasil pengukuran dan tidak berlaku untuk hal yang sifatnya eksak (seperti hasil membilang/menghitung).
Cara-cara pembulatan hasil pengukuran

• Pembulatan ke satuan ukuran terdekat

Aturan :
Jika ada suatu bilangan yang angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5 (>= 5), maka angka di depannya ditambah satu. Dan jika angka berikutnya kurang dari 5 (<= 5), maka angka ini akan dihilangkan dan angka di depannya tetap.
Contoh :

1. 3,5381 gram (bulatkan ke perseratusan gram terdekat)
2. 145,14 m (bulatkan ke persepuluhan meter terdekat)

Jawab :

1. 3,54 gram
2. 145,1 m

• Pembulatan ke banyaknya angka desimal

Tujuan pembulatan ini untuk mempermudah dalam perhitungan.
Contoh :
Bulatkan hasil pengukuran 43,127539 gram sampai dengan :

1. Lima tempat desimal
2. Dua tempat desimal

Jawab :

1. 43,12754 gram
2. 43,13 gram

• Pembulatan ke banyaknya angka penting (signifikan)

Aturan angka penting :
Semua angka bukan nol adalah penting, dan angka nol adalah penting kecuali angka nol yang berada di depan angka bukan nol pada bilangan desimal kurang dari 1.
Contoh :
453,098 (ada 6 angka penting)
0,02010 (ada 4 angka penting)
Bulatkan bilangan berikut hingga tiga angka penting

1. 0,017368 m
2. 123,72 detik

Jawab :

1. 0,0174 m
2. 124 detik

Kesalahan Pengukuran
Definisi
Kesalahan adalah selisih antara ukuran sebenarnya dengan ukuran yang diperoleh dari hasil pengukuran.
Jenis-jenis kesalahan pengukuran

• Salah Mutlak

Salah mutlak = 1/2 x  Satuan ukuran terkecil
Batas atas hasil pengukuran
Batas atas = hasil pengukuran + salah mutlak
Batas bawah hasil pengukuran
Batas bawah = hasil pengukuran – salah mutlak
Contoh :
Tentukan satuan ukuran terkecil dari hasil pengukuran di bawah ini :

1. 12 kg
2. 5,9 m
3. 6,17 volt

Jawab :

1. Satuan ukuran terkecilnya adalah 1 kg
2. Satuan ukuran terkecilnya adalah 0,1 m
3. Satuan ukuran terkecilnya adalah 0,01 volt

• Salah Relatif dan Persentase kesalahan

Salah Relatif = salah mutlak / hasil pengukuran
Persentase Kesalahan = salah relatif  x 100 %
Contoh :
Tentukan salah relatif dan persentase kesalahan hasil pengukuran 3,4 mm!
Jawab :
Satuan ukuran terkecilnya adalah 0,1 mm
Salah mutlak  = 1/2 x  0,1  =  0,05
Salah relatif  = 0,05/3,4   = 0,0147
Persentase kesalahan = 0,0147 x 100%   = 1,47 %
Toleransi Pengukuran
Toleransi dalam pengukuran merupakan selisih antara pengukuran terbesar dengan pengukuran terkecil yang dapat diterima.
Contoh :
Suatu benda memiliki massa (17 +- 0,8) gr. Berapakah toleransinya?
Jawab :
Batas atas pengukuran = 17 + 0,8 = 17,8 gr
Batas bawah pengukuran = 17 – 0,8 = 16,2 gr
Maka toleransinya = 17,8 – 16,2 = 3,6 gr
Hasil Pengukuran
Penjumlahan dan pengurangan Hasil Pengukuran
Contoh 1 : Penjumlahan Pengukuran
Diketahui dua potong pipa dengan panjang masing-masing 3,2 cm dan 1,6 cm. jika kedua pipa tersebut disambungkan, tentukan panjang maksimum dan minimum setelah keduanya tersambung.
Jawab :
Pipa 1 : terletak pada jangkauan (3,2 +- 0,05) cm, yaitu 3,25 cm dan 3,15 cm
Pipa 2 : terletak pada jangkauan (1,6 +- 0,05) cm, yaitu 1,65 cm dan 1,55 cm
Total panjang maksimum = (3,25 + 1,65) cm = 4,9 cm
Total panjang minimum = (3,15 + 1,55) cm = 4,7 cm
Hasil jumlah terletak pada batas-batas 4,7 cm dan 4,9 cm atau ditulis dengan (4,8  1). Sehingga salah mutlak dari hasil jumlah dua pengukuran tersebut adalah 0,1.
Contoh 2 : Pengurangan Pengukuran
Berapakah selisih antara hasil-hasil pengukuran 5 cm dan 3 cm? (masing-masing bulatkan ke cm terdekat).
Jawab :
5 cm terletak dalam jangkauan (5 +- 0,5) cm, yaitu 5,5 cm dan 4,5 cm.
3 cm terletak dalam jangkauan (3 +- 0,5) cm, yaitu 3,5 cm dan 2,5 cm.
Selisih maksimum = (5,5 – 2,5) cm = 3 cm
Selisih Minimum = (4,5 – 3,5) cm = 1 cm
Hasil selisih terletak pada batas-batas 3 cm dan 1 cm atau (2 +- 1). Sehingga salah mutlak dari hasil selisih pengukuran tersebut adalah 1 cm.
Perkalian Pengukuran
Hasil perkalian maksimum dua pengukuran adalah sebagai berikut :
Hasil kali maksimum = ukuran maksimum x ukuran maksimum
Hasil kali minimum = ukuran minimum x ukuran minimum
Contoh :
Berapakah batas-batas luas persegi panjang dengan panjang 4,1 cm dan lebar 2,9 cm?
Jawab :
4,1 cm terletak dalam jangkauan (4,1 +- 0,05) cm, yaitu 4,15 cm dan 4,05 cm.
2,9 cm terletak dalam jangkauan (2,9 +- 0,5) cm, yaitu 2,95 cm dan 2,85 cm.
Luas maksimum = (4,15  2,95) cm² = 12,2425 cm²
Luas minimum = (4,05  2,85) cm² = 11,5425 cm²

di bawah ini adalah storyboard nya.

Storyboard

Di buat Oleh

Nama : Dedi Abdul Fattah

NIM : 0606083

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Sistem persamaan ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Dalam bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis yang sebidang, di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi peubah (variabel).
Dalam bab ini, akan dibahas persamaan dan pertidaksamaan linear, kuadrat, dan nilai mutlak serta penerapannya.



1.1. Persamaan linear dan kuadrat
Jika ditinjau dari penampilan peubahnya, persamaan dapat dibedakan menjadi persamaan linear dan persamaan tidak linear. Jika ditinjau dari banyak peubahnya, persamaan linear terbagi atas persamaan dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah.
Persamaan tidak linear terbagi atas persamaan polinomial dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah, serta persamaan pecah rasional yang pembilang dan penyebutnya berupa polinomial.


Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk :

dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah.
Secara khusus, persamaan linear dengan satu peubah mempunyai bentuk
ax + b = 0, a  0
Jika semesta pembicaraannya adalah R (himpunan bilangan real), selesaian persamaan di atas dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b pada kedua ruasnya, kemudian kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu .
Secara matematik proses penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai :
(ax + b – b) = (0 – b)
(ax) = ( – b)
x = .
Contoh :
Carilah selesaian persamaan 2x + 8 = 10.
Penyelesaian :
2x + 8 = 10
2x = 10 – 8
2x = 2
x = 1.

Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah :
ax2 + bx + c = 0 , a  0
Bilangan real t disebut akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika memenuhi at2 + bt + c = 0.
Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc.

Contoh :
Carilah akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 5 = 0.
Penyelesaian :
a. Cara pemfaktoran :
x2 – 4x – 5 = 0
(x – 5)(x + 1) = 0
Diperoleh x1 = 5 atau x2 = -1.
b. Cara melengkapkan kuadrat :
x2 – 4x – 5 = 0
x2 – 4x + 22 – 22 – 5 = 0
(x – 2)2 – 9 = 0
(x – 2)2 = 9
x – 2 =  3
x = 2  3
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.
c. Dengan rumus abc, yaitu :
x2 – 4x – 5 = 0
a = 1, b = -4, dan c = -5
= = = 2  3
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.

Persamaan Derajat Tinggi
Pembicaraan persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua, dibatasi hanya pada derajat tiga, dengan penekanan pada dua rumus, yaitu:
x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) dan
x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2).
Untuk pemfaktoran persamaan derajat tinggi dapat digunakan metode Horner.

Contoh :
Carilah bentuk pemfaktoran dari x3 – 8 dan 8x3 – 27
Penyelesaian :
x3 – 8 = x3 – (2)3 = (x – 2)(x2 + 2x +4)
8x3 – 27 = (2x)3 – (3)3 = (2x – 3)(4x2 + 6x +9)
1.2. Pertidaksamaan linear dan kuadrat
Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
a. Ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan.
b. Carilah selesaian persamaan pada langkah a.
c. Berilah tanda dari nilai-nilainya.

Tips Belajar Matematika

Setiap orang memiliki cara yang unik dalam belajar yang mungkin saja antara yang satu dengan yang lainnya saling berbeda. Oleh sebab tidaklah benar andai dikatakan bahwa model belajar yang satu lebih unggul dibanding model belajar yang lain. Semua tergantung dengan kebiasaan dan potensi masing-masing. Seseorang memang selalu memiliki kecenderungan terhadap model atau cara belajar tertentu. Apakah itu visual, auditorial ataupun kinestetik.
Dalam tulisan ini saya akan memberikan beberapa tips yang bisa Anda ikuti ketika belajar matematika. Beberapa tips mungkin saja cocok dengan Anda, tetapi mungkin juga beberapa tips yang lainnya kurang cocok. Tidak ada yang salah dengan hal itu! Yang perlu diperhatikan adalah Anda tahu potensi dan posisi atau cara dan model belajar yang cocok dan Anda rasakan berguna unntuk mendapatkan hasil belajar yang optimal.

Belajar Matematika tidak Seperti Menonton Olah Raga

Anda tidak bisa belajar matematika cukup dengan hanya datang ke kelas, melihat guru menerangkan lalu mengerjakan soal. Tetapi lebih dari itu, Anda harus terlibat aktif di dalam setiap proses pembelajaran. Selain datang dan hadir di ruangan kelas ketika pembelajaran berlangsung, Anda juga harus selalu memperhatikan apa yang sedang dijelaskan, membuat catatan setiap materi dengan baik dan tersusun rapih, mengerjakan beberapa pekerjaan rumah meskipun tidak diwajibkan oleh guru. Anda juga perlu belajar dalam jadwal yang teratur, tidak hanya belajar ketika akan diadakan tes. Seperti itulah proses belajar yangn harus Anda lalui.
Pada kenyataannya seringkali kebanyakan siswa sekolah bahkan seorang mahasiswa sekalipun, belajar lebih keras hanya ketika mereka akan menghadapi tes matematika. Sementara di lain waktu dia tidak pernah mengulangi pelajaran yang diterimanya di kelas. Belajar demikian tentunya tidak akan berhasil optimal.

Memahami Prinsip Dasar itu Penting

Walaupun ada saatnya Anda perlu menghapal beberapa bagian ketika belajar matematika, tetapi matematika bukanlah pelajaran hapalan. Sehingga untuk menguasai beberapa konsep matematika, menghapal rumus itu tidaklah cukup. Tentu berbeda halnya ketika Anda akan menghadapi tes pelajaran sejarah. Cukup menghapal nama, kejadian atau peristiwa sejarah atau waktu berupa sekumpulan tanggal, bulan dan tahun, sepertinya Anda bisa melewati tes itu dengan baik.
Selain menghapal beberapa rumus, Anda juga perlu mengetahui beberapa hal yang berkaitan dengan rumus itu, termasuk darimana rumus itu ditemukan (penurunannya), atau batasan-batasan apa saja yang harus dipenuhi agar rumus itu bisa digunakan dengan tepat.
Beberapa rumus seringkali bersifat umum, sehingga diperlukan identifikasi dan analisa jika ingin menggunakan rumus tersebut untuk menyelesaikan sebuah persoalan terkait. Jika Anda tidak memahami bagaimana rumus itu bekerja dan prinsip-prinsip yang ada dibalik rumus itu, bukan tidak mungkin menggunakan rumus justru menjadi terasa lebih sulit. Anda harus mengingat dan memperhatikan itu, atau malah Anda hanya akan mendapatkan jawaban yang keliru.

Matematika itu Ilmu Terstruktur

Matematika adalah ilmu terstruktur dan bertingkat. Hampir semua materi matematika yang akan Anda pelajari itu saling berkaitan. Untuk bisa memahami beberapa konsep lebih tinggi diperlukan pemahaman terhadap konsep di bawahnya. Sehingga agar tidak bermasalah dengan beberapa konsep di level yang lebih tinggi, konsep-konsep di level sebelumnya itu harus dikuasai dan tidak boleh dilupakan.
Ketiga hal di atas adalah hal utama yang harus Anda perhatikan ketika belajar matematika. Tips di atas tentunya tidak hanya berlaku bagi siswa sekolah, tapi berlaku bagi siapa saja yang ingin belajar matematika di luar sekolah (Homeschooling). Jika ada tips lain yang ingin Anda tambahkan, Anda bisa menuliskannya di kolom komentar. Semoga berguna!

Materi Matematika SMK

Berikut ini beberapa Modul Matematika SMK yang pernah saya susun. Sebagian saya sendiri yang menyusunnya, sebagian lagi saya susun ulang sesuai keperluan pembelajaran dari materi-materi yang saya peroleh di beberapa diklat yang pernah diikuti.
Semua materi tersedia dalam format pdf, jadi pastikan komputer Anda memiliki program pdf reader agar bisa membacanya.
Anda bisa download dengan cara klik materi yang Anda inginkan berikut ini:
Bilangan Real

Aproksimasi

Persamaan dan Pertidaksamaan

Logika Matematika

Matriks

Program Linear

Cara Cepat Mengalikan dengan Bilangan 11

Teknik berikut akan mengajarkan bagaimana caranya mengalikan sebuah bilangan dengan angka 11 dengan cara mudah dan cepat.

Berikut adalah beberapa contoh kasus, selanjutnya kita bisa melihat pola dari teknik tersebut.

Pertama, coba tentukan hasil dari perkalian 13 dengan 11!

13×11=?

Langkah pertama adalah konsentrasikan perhatian kita pada bilangan yang akan dikalikan dengan 11 itu, yaitu 13.

Pisahkan bilangan pertama dan kedua pada angka 13.

1—>3

Jumlahkan kedua bilangan itu,

1+3=4

Letakkan jawabannya, yaitu 4 diantara 1 dan 3, sehingga diperoleh 143.

Jadi, 13×11=143

Sekarang kita coba dengan bilangan yang lain.

58×11=?

Jika kita melakukan seperti prosedur di atas, maka akan kita peroleh 5138 (angka 13 diantara 3 dan 8 diperoleh dari 5+8).

Kita tidak melakukan hal itu karena  Ini merupakan jawaban yang keliru.

Untuk model seperti ini, lakukan seperti berikut:

Simpan digit terakhir dari “13″, yaitu 3 di tengah, dan tambahkan angka 1 dari “13″ ke angka 538, sehingga menghasilkan 638.

jadi, 58×11=638

Sekarang coba satu lagi menggunakan teknik seperti di atas,

75×11=?

825. Mudah kan? Tidak perlu waktu lama untuk mendapatkan jawabnya!

Bilangan Real

Berbagai Sistem Bilangan
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Gambar 1

Pengertian Bilangan Real ()
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga .
Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari .
Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.
Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:




Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu dan memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu dan (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!
Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.
Pertanyaan
Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?
Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
a) Operasi penjumlahan

Contoh:
1.
2.
3.
4.
b) Operasi pengurangan

Contoh:
1.
2.
3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $
c) Operasi perkalian

Contoh:
1.
2.
3.
d) Operasi pembagian

Contoh:





Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya
a) Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal
Contoh:



b) Mengubah Pecahan Desimal ke Persen
Contoh:


c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!




Menghitung persentase
a) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan
Contoh:
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000


Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00
b) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00


Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
c) Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00
Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

Sifat-sifat Operasi Bilangan Real
Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.
Untuk setiap , beralaku sifat-sifat berikut;
Penjumlahan:
1. Sifat tertutup pada penjumlahan;
2. Sifat komutatif pada penjumlahan
3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)
6. Sifat invers pada penjumlahan
Perkalian:
1. Sifat tertutup pada perkalian
2. Sifat komutatif pada perkalian
3. Sifat asosiatif pada perkalian
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)
6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk )

(tidak ada/tidak didefinisikan)
Catatan:
Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol, karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini